Contributions to the method of Lie series by W. & H. Knapp Grobner

By W. & H. Knapp Grobner

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Es ist H2 (2 cos ϕ) = 4 cos2 ϕ − 2 = 2(cos2 ϕ + cos2 ϕ − 1) = 2(cos2 ϕ − sin2 ϕ) = 2 cos 2ϕ. Es sei n ≥ 2 und der Satz gelte f¨ ur alle k ≤ n. Nach Korollar 1 ist dann Hn+1 (2 cos ϕ) = Hn (2 cos ϕ)2 cos ϕ − Hn−1 (2 cos ϕ) = 2 2 cos nϕ cos ϕ − cos(n − 1)ϕ = 2 2 cos nϕ cos ϕ − cos nϕ cos(−ϕ) − sin nϕ sin(−ϕ) = 2 2 cos nϕ cos ϕ − cos nϕ cos ϕ − sin nϕ sin ϕ = 2 cos(n + 1)ϕ. Damit ist der Satz bewiesen. 1. Einheitswurzeln 45 Der n¨achste Satz, so Lagrange, sei die Grundlage des ber¨ uhmten Satzes von Cotes.

Kq )} und wir k¨ onnen die Induktionsannahme benutzen, da die Einschr¨ ankung γ ∗ von γ auf {1, . . , n − 1} die Voraussetzungen des Satzes erf¨ ullt. +γ(ip−1 )+γ(ip ) . 6. Der laplacesche Entwicklungssatz 35 2. Fall. Es sei γ(ip ) < n. , und schließlich n − 1 nach n und dann n nach j abbildet und alle u ¨brigen Ziffern fest l¨ asst. Diese Abbildung hat n − 1 − (j − 1) = n − j Inversionen, so dass sgn(δ) = (−1)n−j = (−1)n+j = (−1)ip +γ(ip ) ist. Wir zeigen, dass δ −1 γ ∈ Γ gilt und n festl¨asst.

Wenn also Lagrange von Buchstabengleichungen, ´equations litt´erales, bzw. algebraischen Gleichungen, ´equations alg´ebriques, redet, so meint er eine Gleichung f = 0 mit Polynomen f der Form n an−i xi ∈ Q[a1 , . . , an ][x] f= i:=0 mit Unbestimmten a1 , . . , an und x sowie a0 = 1. Dies sollte der Leser im Auge behalten. 52 Kapitel VIII. Lagrange Das Aufschluss gebende Wort ´equations litt´erales erscheint nur zweimal in der Einleitung und dann nie wieder. Den Zeitgenossen war wohl klar, wovon Lagrange handelte.

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