Categorical Algebra and its Applications. Proc. conf. by Francis Borceux

By Francis Borceux

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Il Théorème de la division euclidienne. — Soit ???? et ???? deux entiers relatifs, avec ???? = existe des entiers relatifs ???? et ????, uniques, tels que ???? = ???? ???? + ???? et 0 ≤ ???? ≤ |????| − 1. L’entier ???? s’appelle le quotient de la division euclidienne de ???? par ???? ; l’entier ????, le reste. Démonstration. — Soit ???? l’ensemble des entiers ???? ∈ N tels qu’il existe ???? ∈ Z avec ???? = ???????? + ????. L’ensemble ???? n’est pas vide. En effet, si ???? ≥ 0, la relation ???? = ???? · 0 + ???? montre que ???? ∈ ????. Si ???? ≤ 0, soit ???? ∈ {−1, 1} le signe de ???? ; on a la relation ???? = ???????? · ???? + (1 − ????????)???? dans laquelle (1 − ????????)???? ≥ 0 (car ???????? ≥ 1 et ???? ≤ 0) ; par suite, ????(1 − ????????) appartient à ????.

On le note ????(????). Soit ???? et ???? deux entiers dont on a calculé le produit ???? à la main. La « preuve par 9 » consiste à calculer ????(????), ????(????), ????(????), puis le produit ???? = ????(????)????(????) et enfin l’entier ????(????). On a ???? ≡ ????(????) (mod 9), ???? ≡ ????(????) (mod 9), donc ???????? ≡ ???? (mod 9), et enfin ???????? ≡ ????(????) (mod 9). Si le calcul fait est juste, ???? = ????????, donc on doit pouvoir vérifier que ????(????) ≡ ????(????) (mod 9), c’est-à-dire ????(????) = ????(????). Si ce n’est pas le cas, c’est qu’on s’est trompé ! Remarquons cependant que la preuve par 9 ne garantit pas que le calcul fait est juste : elle détecte certaines erreurs (typiquement, l’oubli d’une retenue), mais pas toutes (par exemple, pas l’échange de deux chiffres en effectuant le calcul).

Un des aspects fascinants de cette conjecture est la façon dont Gauss l’a prévue : d’une part sur la base d’une table de nombres premiers assez importante, et d’autre part sur le calcul ∫︀ ???????? numérique de l’intégrale (appelée logarithme intégral) li(????) = ???????? log ???? dont la croissance est en ????/ log ???? lorsque ???? → ∞. Il est remarquable que deux siècles avant que les ordinateurs rendent ce genre de calcul numérique, Gauss ait été capable de prédire ce résultat, d’autant plus que le logarithme intégral fournit le meilleur équivalent possible.

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