Bernstein's analytic continuation of complex powers by Garrett P.

By Garrett P.

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N−1 . Somit n ist En die Menge der Ecken eines dem Einheitskreis einbeschriebenen regulären n-Ecks; und es gilt |En | = n. Wir haben E3 und E8 skizziert: i e2πi/3 i eπi/4 e3πi/4 −1 1 1 e7πi/4 e5πi/4 e4πi/3 −i Die Menge V4 := {Id, σ1 , σ2 , σ3 } mit den Permutationen Id, σ1 = 1 2 2 1 3 4 4 , σ2 = 3 1 3 2 4 3 1 4 , σ3 = 2 1 4 2 3 3 2 4 1 bildet eine Untergruppe von S4 . Es gilt σ 2 = Id für alle σ ∈ V4 . 9 Jede Untergruppe U von (Z, +) hat die Form U = n Z mit n ∈ N0 . Dabei ist n = 0 oder die kleinste natürliche Zahl aus U .

Wegen der Bedeutung des Satzes von Lagrange scheint es angebracht, dass wir uns den Beweis für eine endliche Gruppe G dazu noch einmal verdeutlichen: Ausgehend von einer Untergruppe U von G wählen wir, sofern möglich, ein Element a1 ∈ G \ U . Dann ist auch U ∪ a1 U ⊆ G. Darüber hinaus sind die Mengen U und a1 U disjunkt und haben die gleiche Mächtigkeit. Nun wähle man, sofern dies möglich ist, ein weiteres Element a2 ∈ G \ (U ∪ a1 U ). Dann ist auch U ∪ a1 U ∪ a2 U ⊆ G erfüllt etc. Dieses Verfahren bricht nach endlich vielen Schritten, etwa nach k − 1 Schritten ab, da G endlich ist: G = U ∪ a1 U ∪ · · · ∪ ak−1 U .

15 von Cayley. 7 Es sei G eine endliche Gruppe, weiter sei ϕ ∈ Aut G fixpunktfrei, d. , aus ϕ(a) = a für ein a ∈ G folgt a = e. Zeigen Sie: Zu jedem a ∈ G existiert genau ein b ∈ G mit a = b−1 ϕ(b). Hinweis: Zeigen Sie zuerst ψ : b → b−1 ϕ(b) ist injektiv. 8 Zeigen Sie: Besitzt eine endliche Gruppe G einen fixpunktfreien Automorphismus ϕ mit ϕ2 = Id, so ist G abelsch. 7. 1 Erzeugendensysteme. Elementordnungen . . . . . . . . . . . . . . . 2 Nebenklassen . . . . . . . . . .

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