Allgemeine Algebra und Anwendungen by Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller

By Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller

Ausgehend von dem Werk des Arabers Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi "Hisab aljabr w'almuqabalah" (HinUberschaffen eines Gliedes einer Gleichung von einer Seite auf die andere) im eight. Jhdt. nach ehr., welches fUr die Algebra namensgebend struggle, verstand guy bis zum Beginn des 19. Jhdts. unter Algebra im wesentlichen die Lehre von der Losung alge braischer Gleichungen . Eines der Hauptprobleme der Gleichungslehre battle, die Frage zu beantworten, wann eine allgemeine Polynomgleichung n-ten Grades mit Hilfe der Grundrechnungsarten, des Potenzierens und Wurzel ziehens auflosbar ist. Diese Frage wurde von E. Galois in einer im Jahre 1831 bei der Franzosischen Akademie der Wissenschaften einge reichten Arbeit endgUltig entschieden. Galois verwendete bei seinem Be weis erstmals Hilfsmittel, die als charakteristisch fUr die moderne Al gebra angesehen werden konnen, namlich Eigenschaften von Gruppen und Korpern . - Angeregt durch Fragen der Logik folgten bald Untersuchungen anderer algebraischer Strukturen, namlich von Booleschen Algebren, und mit der Zeit wandelte sich die Bedeutung des Wortes Algebra hin zur Lehre von algebraischen Strukturen, so wie wir sie heute vornehml ich verstehen. Mit den vielen neu gewonnenen Ergebnissen Uber algebraische Strukturen gewann die Frage an Bedeutung, used to be diesen Ergebnissen gemeinsam ist, und so entstand vor etwa 30 Jahren eine neue Teildisziplin der Algebra, die sogenannte Universelle (oder Universale) Algebra. Zugleich mit dem pattern zur abstrakten Algebra hin geriet allerdings teilweise etwas in Ver gessenheit, dass viele Probleme der Algebra aus konkret en Fragen der An wendungen entstanden und fUr die Anwendungen bedeutsam sind

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7. B. für politische Parteien oder für Waren haben, und mit Regeln, gemäß denen eine Präferenz der Gesellschaft als Ganzes in Abhängigkeit von den ind ividuellen Entscheidungen zum Ausdruck gebracht werden kann. Angenommen, eine Ware ist in verschiedenen GeschäftenA,B,C, ... erhältlich, wobei die Qualität und Menge der Ware in allen Geschäften die gle iche se i; nur im Pre i s gebe es Untersch iede. 1 zeigt ei n Beisp iel für so eine Halbordnung. Ist für e inen Käufer ausschlie ßl ich der Pre is für den Erwerb de r Ware ausschlagA B gebend, so s ind d ie Präferenze n des Kä uf e r s durch die erhaltene Ha l bor dnung bestimmt .

Ist U = H und bes itzt H e in grö ßtes bzw. kleinstes Element, so wird dieses das Ein s - bzw. Nullel ement de r Halbordnung genannt und zumeist mit 1 bzw. 0 beze ichnet. 4 existiert e in Nullelemen t (die Zahl 1 ! 3 gibt es weder Nu1l- noch Einselemente . Obere Nachbarn des Nullelernents hei ßen Atome , untere Na chba r n des Einselements werden Ant iat ome oder duale Atome genann t. ; In einer Halbo rdnung, welc he ein Null- bzw. Einselement besitzt, müssen ke i ne Atome bzw. Antiatome e xist ieren.

He (I) = C( I) = C(D). he (1 ) = C(1) = C(T). K K K K Man ka nn auch an Hand der Operationstafeln unschwe r nachprüfen. daß he ein Homomorphismus ist. K . Führen wir die Abbildungen he und he hintereinander aus. so erhalten wir wieder ei nen Homomorphi smßs. denn K ganz allgemein gilt: Sind . . A 2 • . • Ar > drei Algebren vom selben Typ und g:M~W. h:W~V Homomorph ismen. J (wir schreibenl daf ür oft auch nur hg) ebenfalls ein Homomorphismus.

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