Algebraic Threefolds. Proc. conf. Varenna, 1981 by Alberto Conte

By Alberto Conte

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FUr aIle a E G ein inverses Element a-I E G existiert mit der Eigensehaft a· a-I = e. Wie von Zahlen und Restklassen her gewohnt, lassen wir in der Regel den Multiplikationspunkt weg. Gruppenverkniipfungen sind aber keineswegs immer nur als Multiplikationen zu denken, wie die Beispiele des folgenden Absehnitts zeigen werden. h. wenn ab = ba Va, bEG. In diesem Fall wird die Verkniipfung haufig nieht als ab oder a . b gesehrieben, sondern als Addition in der Form a+b. B. in der Form (G,+) fUr eine (additiv gesehriebene) abelsehe Gruppe im Gegensatz zu einer multiplikativ gesehriebenen Gruppe (G,·) (die freilieh aueh kommutativ sein kann).

Bleibt also nur zu zeigen, daB es sich bei h urn einen Isomorphismus handelt. Nun gilt nach Voraussetzung die Existenz- und Eindeutigkeitsaussage des Hilfssatzes 2 Gruppen 50 auch fur G ' anstelle von G, man erhalt also mit vertauschten RoUen von G und G ' genauso ein Diagramm mit einem Homomorphismus h' : G --+ G' . Setzt man h und h' zu h 0 h' zusammen, so erhalt man ein neues kommutatives Diagramm U wie rechts beschrieben. 32, namlich fur H / 1 Pu G, hu = pu , hv = pv und h 0 h' anstelle von h.

JR C. ,. :: : x 0---. [xl m . Die Homomorphie ergibt sich daraus, daB die Restklassenaddition repriisentantenweise definiert ist. eVaEG, die fUr jede Gruppe existiert, oder die Abbildung von S3 (oder einer anderen Symmetriegruppe eines regelmaBigen n-Ecks), welche den Drehungen die 1 und den Spiegelungen die -1 in der multiplikativen Gruppe {I, -I} zuordnet. 3 (und Definition) Sei h : G -+ H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt (wenn man filr Inversenbildung und neutrales Element die gleiche Bezeichnung in G wie in H wahlt) 1.

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