Algebra lineare ed equazioni differenziali ordinarie by Cesare Parenti, Alberto Parmeggiani

By Cesare Parenti, Alberto Parmeggiani

Si tratta di un testo avanzato suddiviso in due parti. los angeles prima fornisce strumenti dell'algebra lineare nel caso finito-dimensionale pensato con una prospettiva infinito-dimensionale. l. a. seconda tratta di equazioni/sistemi differenziali ordinari, con particolare enfasi sulla stabilit dei punti di equilibrio e delle orbite periodiche. Non mancano applicazioni alle equazioni alle derivate parziali. l. a. prima parte pu essere utilizzata autonomamente, mentre los angeles seconda dipende in parte dai risultati esposti nella prima.

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7 (Decomposizione polare). Data A ∈ GL(n; C), esistono e sono uniche P ∈ M(n; C) con P = P∗ > 0, Q ∈ U(n; C) tali che A = PQ. La dimostrazione del teorema si basa sul lemma seguente. 8. Data T ∈ M(n; C) con T = T ∗ > 0, esiste ed è unica S ∈ M(n; C) con S = S∗ > 0 e S2 = T. Si scriverà S = T 1/2 e si dirà che S è la radice quadrata positiva di T . Dimostrazione (del lemma). Scriviamo T = k ∑ λ j Pj , dove λ1, λ2, . , j=1 λk > 0 sono le radici distinte di pT e P1 , . , Pk sono le matrici dei proiettori ortogonali k sugli autospazi corrispondenti.

N |2 . 47) Dimostrazione. Facciamo la dimostrazione nel caso complesso. Costruiamo w defik−1 nendo w1 := v1 , e per 2 ≤ k ≤ n, wk := vk + ∑ βk j v j , con i βk j da scegliere opporj=1 tunamente. Si noti che, quale che sia la scelta dei βk j, w = (w1 , . , wn) è una base di V . La scelta dei βk j avviene imponendo che si abbia per k ≥ 2 f (wk ), v = 0, = 1, . , k − 1. 48) Per definizione dei wk ciò equivale a risolvere il sistema di equazioni k−1 ∑ βk j j=1 f (v j ), v = − f (vk ), v , 1 ≤ ≤ k − 1.

11 −12 −13 . . 0 ⎤ β1 β 2⎥ ⎥ β 3⎥ ⎥ , 2 ≤ ≤ n, . ⎥ . ⎥ . ⎦ 1 per costruzione si ha diag( f (w j ), w j )1≤ j≤ = B∗ A B , 2 ≤ ≤ n, ed essendo det B = det B∗ = 1, anche la (ii) segue. Infine, scritto u = n ∑ ξ j w j , si ha da (i) e (ii) che j=1 f (u), u = n ∑ ξ j ξ¯k f (w j ), w j = j,k=1 = f (w1 ), w1 |ξ1 |2 + f (w2 ), w2 |ξ2 |2 + . . + f (wn ), wn |ξn |2 = = Δ1 |ξ1 |2 + Ciò conclude la prova. Δ2 Δn |ξ2 |2 + . + |ξn |2 . 8. Nelle ipotesi del teorema precedente la forma quadratica q(u) := f (u), u è: (i) definita positiva se e solo se Δ > 0, 1 ≤ ≤ n; (ii) definita negativa se e solo se (−1) Δ > 0, 1 ≤ ≤ n; (iii) indefinita in tutti gli altri casi.

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