Algebra Lineal by Gabriela Jeronimo, Juan Sabia y Susana Tesauri

By Gabriela Jeronimo, Juan Sabia y Susana Tesauri

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19) a las ecuaciones o, equivalentemente, a las filas de la matriz del sistema. Como veremos a continuaci´on, cada una de estas operaciones puede verse como la multiplicaci´on a izquierda de la matriz del sistema por una matriz conveniente. A cada operaci´on de filas en una matriz de n × n, le asociaremos la matriz que se obtiene al aplicarle dicha operaci´on a la matriz identidad In . Las matrices obtenidas de esta forma se denominan matrices elementales. Tendremos entonces tres familias de matrices elementales, correspondientes a los tres tipos de operaciones de filas permitidas.

A = In . En consecuencia, A es producto de matrices elementales: A = E1−1 . . Es−1 , y A−1 = Es . . E1 . 4 Coordenadas 55 En particular, esta observaci´on nos dice que si por medio de la aplicaci´on de operaciones elementales a las filas de la matriz A obtenemos la matriz identidad I, entonces aplicando las mismas operaciones en las filas de I obtendremos A−1 . Por otro lado, nos da un teorema de estructura para GL(n, K): as´ı como el Teorema Fundamental de la Aritm´etica en Z dice que todo n´ umero entero no nulo es producto de enteros primos, la observaci´on anterior nos dice que toda matriz en GL(n, K) es producto de matrices elementales.

En consecuencia, R[X] = Rn [X] ⊕ S. 2. Sea S = {f ∈ R[X] / f (1) = 0}. Hallar un complemento de S en R[X]. Vemos que S = < (X − 1)X i >i∈N0 . Sea T = < 1 >. Dado f ∈ R[X], f = f −f (1) +f (1) y f −f (1) ∈ S, f (1) ∈ T . Entonces, S +T = R[X]. Sea f ∈ S ∩ T . Como f ∈ S, se tiene que f = (X − 1)g para alg´ un g ∈ R[X] y como f ∈ T , f = 0 o gr(f ) = 0. Luego f = 0. Por lo tanto S ⊕ T = R[X]. 5 Ejercicios Ejercicio 1. (2, 3) ii) Sean v, w ∈ R2 . v , v + w , v − w. 2 iii) Sean v = (3, 1) , w = (2, 4) ∈ R .

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