Algebra Gruppen - Ringe - Körper by Christian Karpfinger

By Christian Karpfinger

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einf?hrung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausf?hrlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bem?ht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisf?hrungen sind ausf?hrlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten f?hren Schritt f?r Schritt an die Ergebnisse heran und k?nnen durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden. Die Autoren haben stets darauf geachtet, dass erst dann neue Begriffe und Konzepte eingef?hrt werden, wenn ein gewisses Vertrauen im Umgang mit den bis dahin entwickelten Begriffen und Konzepten besteht. Das Vorgehen wird stets motiviert, schwierige Sachverhalte werden ausf?hrlich erkl?rt und an Beispielen erprobt. Der Leser erh?lt dadurch einen einfachen Zugang zu dem nicht ganz leichten Thema der Algebra.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel ?berpr?fen das Gelernte und f?rdern das tiefere Verst?ndnis der Theorie. Auf der site zum Buch stehen ausf?hrliche L?sungsvorschl?ge zu den Aufgaben bereit.

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N−1 . Somit n ist En die Menge der Ecken eines dem Einheitskreis einbeschriebenen regulären n-Ecks; und es gilt |En | = n. Wir haben E3 und E8 skizziert: i e2πi/3 i eπi/4 e3πi/4 −1 1 1 e7πi/4 e5πi/4 e4πi/3 −i Die Menge V4 := {Id, σ1 , σ2 , σ3 } mit den Permutationen Id, σ1 = 1 2 2 1 3 4 4 , σ2 = 3 1 3 2 4 3 1 4 , σ3 = 2 1 4 2 3 3 2 4 1 bildet eine Untergruppe von S4 . Es gilt σ 2 = Id für alle σ ∈ V4 . 9 Jede Untergruppe U von (Z, +) hat die Form U = n Z mit n ∈ N0 . Dabei ist n = 0 oder die kleinste natürliche Zahl aus U .

Wegen der Bedeutung des Satzes von Lagrange scheint es angebracht, dass wir uns den Beweis für eine endliche Gruppe G dazu noch einmal verdeutlichen: Ausgehend von einer Untergruppe U von G wählen wir, sofern möglich, ein Element a1 ∈ G \ U . Dann ist auch U ∪ a1 U ⊆ G. Darüber hinaus sind die Mengen U und a1 U disjunkt und haben die gleiche Mächtigkeit. Nun wähle man, sofern dies möglich ist, ein weiteres Element a2 ∈ G \ (U ∪ a1 U ). Dann ist auch U ∪ a1 U ∪ a2 U ⊆ G erfüllt etc. Dieses Verfahren bricht nach endlich vielen Schritten, etwa nach k − 1 Schritten ab, da G endlich ist: G = U ∪ a1 U ∪ · · · ∪ ak−1 U .

15 von Cayley. 7 Es sei G eine endliche Gruppe, weiter sei ϕ ∈ Aut G fixpunktfrei, d. , aus ϕ(a) = a für ein a ∈ G folgt a = e. Zeigen Sie: Zu jedem a ∈ G existiert genau ein b ∈ G mit a = b−1 ϕ(b). Hinweis: Zeigen Sie zuerst ψ : b → b−1 ϕ(b) ist injektiv. 8 Zeigen Sie: Besitzt eine endliche Gruppe G einen fixpunktfreien Automorphismus ϕ mit ϕ2 = Id, so ist G abelsch. 7. 1 Erzeugendensysteme. Elementordnungen . . . . . . . . . . . . . . . 2 Nebenklassen . . . . . . . . . .

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