Algbre pour la licence 3. Groupes, anneaux, corps by Jean-Jacques Risler

By Jean-Jacques Risler

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39. Un A-module M est dit indécomposable s’il n’est pas isomorphe à la somme directe de deux A-modules non nuls. 40. Soit M un A-module de type fini ; les conditions suivantes sont équivalentes : 1. le module M est indécomposable ; 2. M A, ou il existe un élément irréductible p ∈ A et un entier α > 0 tels que : © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. M A/(pα ). Démonstration. 1. ⇒ 2. 33 on peut supposer M = A/(a) ; si l’élément a possède au moins deux facteurs irréductibles, il résulte du lemme chinois que M n’est pas indécomposable.

Alors N est libre de rang m n. © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Démonstration. 26). 27, il suffit alors de montrer que N est de type fini. Raisonnons par récurrence sur n. a) n = 1. Dans ce cas, N est un idéal de A, donc engendré par un élément a puisque A est supposé principal. On a alors N = aA et la multiplication par a donne un isomorphisme A Aa. b) Passage de n−1 à n. Soit π1 le morphisme N −→ A défini par π 1 (a1 , . . , an ) = a1 (restriction à N de la première projection A n → A).

N M/N (Mi /Ni ). i=1 Un cas particulier du corollaire précédent est le suivant : soient M 1 et M2 deux sousmodules d’un A-module M tels que M = M 1 ⊕M2 , alors M/M1 M2 (on applique le corollaire précédent avec N 1 = M1 , N2 = {0}). 8, immédiate, est laissée au lecteur). Démonstration. 6) : soit π le morphisme canonique : M → M/N , f˜ = π ◦ f . 4. 4, le morphisme canonique π1 : M → M/P se factorise par un morphisme (encore surjectif) : π1 : M/N → M/P (car N ⊂ kerπ1 = P ) dont le noyau est l’image de f (P ) par π égale à l’image de f (cf.

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